Taban Aritmetigi

TABAN ARİTMETİĞİ NEDİR?

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T = a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

•  T, 1 den büyük doğal sayıdır.
•  a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
•  Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
•  (abc, de)T = a . T ² + b . T + c + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2} dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.www.matematikcifatih.tr.gg

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.



Herhangi bir " p " tabanında yazılmış bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

Bir sayının herhangi bir " p " tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc . . . )_p yazılışı kullanılır.

Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek demektir.

Bir " p " tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemi gibidir. Sadece 10 sayısı yerine " p " sayısı kullanılır.

İki basamaklı bir ( ab )_p sayısı a.p + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc )_p sayısı a.p² + b.p + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd )_p sayısı a.p³ + b.p² + c.p + d şeklinde çözümlenir ve

basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.

( abcd )_p = a.p³ + b.p² + c.p + d

 

ÖRNEKLER :

1) ( 702 )9	= 7.92 + 0.9 + 2	= 7.81 + 0 + 2	= 567 + 2	= 569
2) ( 702 )8	= 7.82 + 0.8 + 2	= 7.64 + 0 + 2	= 448 + 2	= 450
3) ( 343 )5	= 3.52 + 4.5 + 3	= 3.25 + 20 + 3	= 75 + 23	= 98
4) ( 1011 )2	= 1.23 + 0.22 + 1.2 + 1	= 8 + 0 + 2 + 1	= 11
5) ( 1011 )3	= 1.33 + 0.32 + 1.3 + 1	= 27 + 0 + 3 + 1	= 31
6) ( 1000 )7	= 1.73 + 0.72 + 0.7 + 0	= 343 + 0 + 0 + 0	= 343

---

10 tabanında yazılmış bir sayının bir " p " tabanında yazılışını bulmak :

10 tabanında yazılmış sayı A olsun. A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ile bölünür. Bu bölmede elde edilen bölüm, p sayısına eşit ya da p sayısından büyükse, bölüm p ile bölünür. Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır. Böylece A sayısının p tabanında yazılışı elde edilmiş olur.

Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını ayrı ayrı bulalım.

1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:

96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 olur.

96 = 8 . 12+ 0

Bölüm olan 12 sayısı 8' den büyüktür. 12, 8 ile bölünür. Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 olur.

12 = 8 . 1 + 4

Şimdi bölüm olan 1 sayısı 8' den küçüktür.

Son bölüm olan 1 sayısı en başa, ilk kalan olan 0 sayısı en sona gelecek şekilde, 1, 4 ve 0 sayıları yanyana yazılır. Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur.

96 = ( 140 )₈

2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı: 96 = 7 . 13 + 5 13 = 7 . 1 + 6 96 = ( 165 )7

3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı: 96 = 6 . 16 + 0 16 = 6 . 2 + 4 96 = ( 240 )6

Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür. Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi " p " den küçük olmalıdır.

( abcd )_p yazılışında a, b, c ve d, " p "
den küçük sayılar olmalıdır.

Örneğin ( 240 )₃ yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır.

Bunun gibi, ( 2406 )₆ yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır.

Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :

37,254 = 3 . 10 + 7 + 2 . 10^-1 + 5 . 10^-2 + 4 . 10^-3

Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır. Örneğin ( 37,254 )₈ = 3 . 8 + 7 + 2 . 8^-1 + 5 . 8^-2 + 4 . 8^-3 = 31,3359375 olur.

( ab,cde )_p = a.p + b + c.p^-1 + d.p^-2 + e.p^-3